Quelles sont les priorités opératoires ?

On effectue d'abord les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et les divisions de gauche à droite, puis les additions et les soustractions de gauche à droite. Ainsi 2 + 3 × 4 vaut 2 + 12 = 14, parce que la multiplication passe avant l'addition quel que soit l'ordre d'écriture sur la ligne.

Pourquoi la multiplication passe-t-elle avant l'addition ?

Parce que 3 × 4 est l'écriture abrégée d'un paquet : trois quatre déjà additionnés entre eux. Dans 2 + 3 × 4, la multiplication est un ensemble indissociable, et l'on ajoute 2 à un paquet de trois quatre. Ouvrir le paquet d'abord n'est pas une convention choisie au hasard : c'est ce que l'écriture signifie.

PEMDAS et BODMAS, est-ce la même chose que les priorités opératoires ?

Oui : ce sont les moyens mnémotechniques anglophones pour la règle que l'école française appelle simplement les priorités opératoires. Le piège, dans toutes ces versions, est de lire les lettres comme six étapes distinctes. Multiplication et division forment UNE seule étape, de gauche à droite, et addition et soustraction en forment une autre. 8 ÷ 2 × 4 vaut 16, et non 1, parce qu'on parcourt le palier des × et des ÷ de gauche à droite.

Combien font 8 − 2 + 5 ?

11. Addition et soustraction occupent le même palier et se traitent de gauche à droite : 8 − 2 = 6, puis 6 + 5 = 11. Faire l'addition d'abord (2 + 5 = 7, puis 8 − 7 = 1) applique une priorité qui n'existe pas.

Les priorités opératoires

Voici la dispute qui enflamme les réseaux tous les quelques mois : 2 + 3 × 4. La moitié des commentaires répond 20, l'autre 14, et c'est la moitié qui répond 14 qui a raison — non parce qu'un comité en a décidé ainsi, mais parce que 3 × 4 n'a jamais été deux nombres. C'était un paquet.

Ce guide donne la règle en trois étapes, puis sa raison d'être, puis les deux pièges qui produisent presque toutes les réponses fausses.

La règle, en trois étapes

Les parenthèses d'abord. Ce qui est entre parenthèses est calculé avant de pouvoir toucher au reste.
Puis × et ÷, de gauche à droite. Un seul palier, un seul passage. (Les puissances comme 3² se placent juste au-dessus de ce palier : on élève au carré, puis on multiplie.)
Puis + et −, de gauche à droite. Là aussi, un seul palier, un seul passage.

C'est toute la règle. PEMDAS, BODMAS et BIDMAS sont cette même liste avec un chapeau différent.

Pourquoi cet ordre existe

La multiplication est une addition comprimée : 3 × 4 signifie 4 + 4 + 4. Donc 2 + 3 × 4 est en réalité 2 + (4 + 4 + 4) — un deux, plus un paquet de trois quatre. Le paquet existait avant la phrase ; le signe × ne fait que le maintenir fermé. Ouvrir le paquet avant d'ajouter le 2 n'est pas une politesse envers une convention. C'est lire l'écriture pour ce qu'elle dit.

Les parenthèses existent pour le moment inverse : quand vous voulez que l'addition passe d'abord, vous le dites explicitement. (2 + 3) × 4 = 5 × 4 = 20. Les mêmes trois nombres, une autre phrase.

Exemples traités, un palier à la fois

L'étape 2 l'emporte sur l'étape 3 : multiplier avant d'ajouter

2 + 3 × 4 → 2 + 12 → 14

5 × 2 + 3 × 4 → 10 + 12 → 22 — les deux paquets s'ouvrent d'abord, puis vient l'addition.

Les parenthèses changent la phrase

(2 + 3) × 4 → 5 × 4 → 20

18 − (4 + 6) → 18 − 10 → 8

Les quatre opérations d'un coup

Traitez les paliers dans l'ordre : parenthèses, puis × et ÷, puis + et −.

7 + 2 × 6 − 5 → 7 + 12 − 5 → 19 − 5 → 14

Avec une puissance

3² + 4 × 5 → 9 + 20 → 29 — le carré s'ouvre en premier (c'est une multiplication comprimée, un cran plus haut), puis le ×, puis le +.

Les deux pièges à nommer

Lire les lettres comme six étapes. Le M et le D de PEMDAS forment un palier, parcouru de gauche à droite — et il en va de même pour le A et le S. 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16, et non 1. 8 − 2 + 5 = 6 + 5 = 11, et non 1. Faire toutes les multiplications avant toutes les divisions (ou toutes les additions avant toutes les soustractions) invente une priorité qui n'existe pas.
Balayer de droite à gauche. À l'intérieur d'un palier, on va de gauche à droite. Cela ne compte que pour ÷ et −, et c'est exactement là que l'on se brûle.

Pourquoi de gauche à droite ? Parce que − et ÷ ne sont pas symétriques : 8 − 2 n'est pas 2 − 8. La convention fixe un sens de lecture pour que la même ligne veuille dire la même chose pour tout le monde. L'addition et la multiplication seules n'en auraient pas besoin — l'ordre ne les change pas — et c'est pourquoi le piège ne mord que lorsque la soustraction ou la division apparaît.

L'apprendre en bonne et due forme dans l'application

Math Challenge en fait une véritable échelle de leçons, une idée par leçon, chacune avec des images et des exercices à essayer :

Les parenthèses d'abord — les parenthèses disent quelle partie calculer en premier.
Multiplier et diviser avant d'ajouter et de soustraire — pas de parenthèses ? Faites × et ÷ d'abord, de gauche à droite.
Parenthèses et quatre opérations — la règle complète : parenthèses, puis × et ÷, puis + et −.

Les trois se trouvent dans les leçons d'arithmétique de base, dans l'onglet Apprendre de l'application.

S'entraîner dans le jeu

Le thème Ordre travaille exactement ces formes : a + b × c, deux paquets comme a × b + c × d, des phrases parenthésées comme (a + b) × c, et en mode difficile des suites de quatre termes et des carrés comme 2² + 3 × 4. La difficulté monte à mesure que vous réussissez.

À vous de jouer

Trois à essayer — touchez ce que vous trouvez.

3 + 4 × 2

(3 + 4) × 2

20 − 12 ÷ 4

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