等しい分数と帯分数

更新 2026年10月13日

このページは、アプリが教えるとおりの順序で分数を追いかけます。何かを等しく切るところから、分数を分数で割るところまでの段ばしごです。分数のたし算はどうするのという問いへのまっすぐな答えがほしくて来たのなら、分数のガイドがちょうどそれだけに答えます。こちらは進み方の全体と、飛ばされがちな段 — 等しさ、帯分数、量の何分のいくつ — のためのページです。

全体を支える考えは一つです。下の数は量ではなく、単位です。5分の1と8分の1は大きさのちがうかけらで、下のほとんどすべての決まりは、数える前にかけらの大きさをそろえること、あるいはわざと切り直すことの話です。

分数はどこから始まるのか

「等しい」という言葉から始まります。等しい部分はそれ以外の何の話でもありません。4つのうち3つが4分の3になるのは、4つが同じ大きさのときだけで、ふぞろいに4つへ切られた形は、そもそも4分の1を見せていません。この区別こそが、分数を説明ではなく計算にするものです。

半分・4分の1・3分の1が最初のいくつかに名前をつけ、上と下で書き方が届きます。下は全体をいくつに切ったか、上はいくつ持っているか。まとまりの何分のいくつが、みんなを引っかける跳びを越えます — 分数は切り分けた形だけでなく、ものの集まりも表せるのです。おはじき12個の半分は6個で、「全体」は12です。

二つの分数が等しいとは？

二つの分数が同じ量を表すとき、それらは等しいといい、上と下を同じ数でかけたり割ったりすると、一方をもう一方に変えられます。等しい分数は棒グラフで理由を示します。$\frac{3}{5}$3/5 の五分の一をそれぞれ3等分すると、棒は15個のうち9個が色つきになるので、$\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$3/5 = 9/15 です。色のついた量は動いておらず、ピースの数が3倍になって、それぞれの大きさが3分の1になっただけです。だからこの決まりは成り立ちます。上と下に3をかけることは、1に等しい $\frac{3}{3}$3/3 をかけることだからです。割り算も同じ考えの逆向きで、上下を3で割れば $\frac{9}{15}$9/15 は $\frac{3}{5}$3/5 に戻ります。上と下にちがうことをしたり、足したりすると壊れます。$\frac{3}{5}$3/5 の上下それぞれに1を足すと $\frac{4}{6}$4/6 になり、これはもとより大きい数です。確かめるには、たすき掛けをします。3 × 15 = 45、5 × 9 = 45 で、二つの分数は等しいとわかります。

$\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$2/3 = 8/12（どちらも × 4）。 $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{50}{100}$1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100。

逆向きに走らせるといちばん簡単な形になります — 両方を割る数がなくなるまで割り続けることで、最大公約数で一度に割るのと同じです。$\frac{18}{24}÷6\to \frac{3}{4}$18/24 ÷ 6 → 3/4。その数をすばやく見つけるのは約数と倍数（英語）の道具箱の仕事です。

共通の分母は、等しさをもう一方の向きに使ったものです。分数を簡単にするのではなく、二つの分数をそろえる — そうしてはじめて、個数がくらべられ、足せるようになります。

二つの分数はどう比べるのか

二つの分数を比べるには、分母を同じにそろえて分子を比べます。分子が大きいほうが大きい分数です。$\frac{4}{5}$4/5 と $\frac{5}{7}$5/7 なら、5 × 7 = 35 なので35分のいくつに直します。$\frac{4}{5}=\frac{28}{35}$4/5 = 28/35、$\frac{5}{7}=\frac{25}{35}$5/7 = 25/35 なので $\frac{4}{5}$4/5 のほうが大きくなります。大きさがそろったピースは、そのまま数えればよいのです。分子がすでに同じときは決まりが逆になり、分母が小さいほうが大きい分数です。切る数が少ないほどピースは大きくなるからで、$\frac{3}{4}$3/4 は $\frac{3}{10}$3/10 より大きくなります。半分をはさんで反対側にある組は、そろえ直す必要がありません。それぞれの分子を2倍して分母とくらべます。$\frac{3}{7}$3/7 と $\frac{5}{9}$5/9 なら、3 × 2 = 6 は7より小さく、5 × 2 = 10 は9より大きいので、$\frac{3}{7}$3/7 は半分未満、$\frac{5}{9}$5/9 は半分より大きく、$\frac{5}{9}$5/9 のほうが大きくなります。最初の組を確かめるには、たすき掛けをします。4 × 7 = 28、5 × 5 = 25 で、大きいほうの積が $\frac{4}{5}$4/5 の側にあります。

下が同じ。同じ分母：$\frac{5}{8}>\frac{3}{8}$5/8 > 3/8。8分の1が5つは、3つより多いからです。

上が同じ。同じ分子：$\frac{3}{5}>\frac{3}{8}$3/5 > 3/8。どちらもかけらは3つですが、5分の1のほうが大きいかけらです。あべこべに感じられて、実はそうではないくらべ方 — 切るほど、かけらは小さいのです。

どちらもちがう。半分より多いが最速の最初のたしかめです。$\frac{7}{16}$7/16 — 7を2倍すると14で、16より小さいので半分より少ない。

分数を順に並べるは三つ以上を順に置きます。ここで共通の分母は省けなくなります。$\frac{2}{3}$2/3、$\frac{3}{5}$3/5、$\frac{7}{10}\to 15$7/10 → 15分の1でも10分の1でも合わないので、30分の1で $\to \frac{20}{30}$→ 20/30、$\frac{18}{30}$18/30、$\frac{21}{30}\to \frac{3}{5}<\frac{2}{3}<\frac{7}{10}$21/30 → 3/5 < 2/3 < 7/10。

たし算とひき算

分母がそろっていれば、数えるだけで足せます。同じ分母のたし算：$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$2/7 + 3/7 = 5/7。2メートル足す3メートルが5メートルなのと同じ理由です。単位は足されていません。単位は、個数を足せるものにしているほうです。

図と問題つきのくわしい説明: 分数のたし算とひき算はどうやりますか？。

仮分数と帯分数

仮分数は、上が下と同じかそれ以上の分数で、要するに1以上の値だということです。仮分数は、$\frac{7}{4}$7/4 のどこも悪くないことをはっきりさせます — 4分の1が7つは存在します。ただ、まるごと一つより多いだけです。

帯分数は同じ量のもう一つの書き方です。$\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$7/4 = 1 3/4、まるごと一つと4分の3。

帯分数と仮分数が両方向の変換を与えます。どちらも、ただのわり算とかけ算です。

• 仮分数から帯分数へ：上を下で割る。商が整数の部分、あまりが上に残る。$\frac{17}{5}\to 17÷5=3$17/5 → 17 ÷ 5 = 3 あまり $2\to 3\frac{2}{5}$2 → 3 2/5。
• 帯分数から仮分数へ：整数×分母、足す分子。$3\frac{2}{5}\to 3\times 5+2=17\to \frac{17}{5}$3 2/5 → 3 × 5 + 2 = 17 → 17/5。

帯分数のたし算とひき算

整数の部分とかけらの部分を別々にあつかい、最後にととのえます。$2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\to 2+1=3$2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3、そして $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4、だから $4\frac{1}{4}$4 1/4。

くずれるのはひき算です。かけらの部分が引けないことがあるからです。直し方は借りること — 筆算のひき算とまったく同じで、まるごと一つをかけらにほどきます。$3\frac{1}{5}-1\frac{3}{5}\to$3 1/5 − 1 3/5 → まるごと一つを5分の5として借りて $\to 2\frac{6}{5}-1\frac{3}{5}=1\frac{3}{5}$→ 2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5。先に両方を仮分数へ直せば — $\frac{16}{5}-\frac{8}{5}=\frac{8}{5}$16/5 − 8/5 = 8/5 — 借りる作業がまるごと消えるので、数がやっかいなときはそちらが安全な道です。

量の何分のいくつは、どう求めるのか

量のうちの何分のいくつかを求めるには、その量を下の数で割ってから、上の数をかけます。量の何分のいくつが通しでやって見せます。60 の $\frac{3}{4}\to 60÷4=15\to 15\times 3=45$3/4 → 60 ÷ 4 = 15 → 15 × 3 = 45。4で割ると60の4分の1、つまり15が求まり、4分の3はその3つ分の45です。下の数字は同じ大きさの部分をいくつ作るかを、上の数字はそのうちいくつ取るかを表します。上が1のときは割るだけで済みます。35 の $\frac{1}{5}$1/5 は 35 ÷ 5 = 7 です。量がきっちり割り切れないときは、先にかけ算をします。10 の $\frac{2}{3}$2/3 は 2 × 10 = 20、それを 20 ÷ 3 すると $6\frac{2}{3}$6 2/3 になります。どちらの順でかけても同じ答えになります。確かめるには、部分を足し戻します。残りの4分の1は15で、45 + 15 = 60 です。

先に割ると数が小さいままで、頭の中でやるときはそれが効きます。助けになるなら順番は逆にできます — 3 × 60 = 180、それから ÷ 4 = 45 — そして、どちらの道でも同じ答えに着くことには気づく値打ちがあります。「〜の」の決まりとかけ算の決まりが同じ一つの決まりである理由が、それだからです。

分数のかけ算とわり算

分数をかけるには、分子どうし、分母どうしをかけ合わせます。共通の分母は要りません。$\frac{5}{6}\times \frac{3}{10}=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$5/6 × 3/10 = 15/60 = 1/4 です。分数をかけるとは、その量のその部分を取ることなので、10分の3の6分の5は、どちらの分数よりも小さくなります。分数で割るには、その分数をひっくり返してかけます。$\frac{2}{3}÷\frac{1}{9}=\frac{2}{3}\times \frac{9}{1}=\frac{18}{3}=6$2/3 ÷ 1/9 = 2/3 × 9/1 = 18/3 = 6 です。ひっくり返してよいのは、わり算が「9分の1がいくつ入るか」を尋ねているからで、3分の1はそれぞれ9分の3個分なので、3分の2は9分の6個分、つまり6個入ります。1より小さい分数で割ると、小さいピースがたくさん入るので、答えはつねに大きくなります。帯分数はまず仮分数に直さなければなりません。1と$\frac{1}{3}÷\frac{1}{3}$1/3 ÷ 1/3 は $\frac{4}{3}\times \frac{3}{1}=\frac{12}{3}=4$4/3 × 3/1 = 12/3 = 4 になります。わり算を確かめるには、答えに割った分数をかけます。$6\times \frac{1}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$6 × 1/9 = 6/9 = 2/3。

分数のかけ算：そのまま横に。$\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$2/3 × 4/5 = 8/15。

分数で割るは「いくつ入るか」の問いとして読むのがいちばんです。$\frac{1}{2}÷\frac{1}{6}$1/2 ÷ 1/6 は、半分に6分の1がいくつ入るかをたずねていて、答えは3つ — ひっくり返す前から見えています。ひっくり返すのはその問いの近道です：$\frac{1}{2}\times \frac{6}{1}=3$1/2 × 6/1 = 3。

分数を分数で割るが、入りがちょうど整数にならない一般の場合を受け持ちます。$\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times \frac{5}{2}=\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}$3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 7/8。4分の3に5分の2は2回弱しか入らず、その分数が「入りかけ」の部分です。

名前をつけておく値打ちのある間違い、四つ

• 分母を足す。$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$1/2 + 1/2 は 1 で、$\frac{2}{4}$2/4 ではありません。分母は単位の名前で、積み上がりません。
• 帯分数をそのままかける。$2\frac{1}{2}\times 3$2 1/2 × 3 は $6\frac{1}{2}$6 1/2 ではありません。先に $\frac{5}{2}$5/2 に直してから、かけます。
• 片方の行だけ約分する。上にしたことは下にもする。しないと値が動きます。
• かけ算の前に共通の分母を作る。間違いではなく、ただの無駄な仕事です — かけ算は単位をそろえる必要がありません。

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下が10や100の分数は小数で、下が100の分数は百分率 — 同じ量の三つの書き方で、続きは小数・百分率・利息にあります。部分と全体ではなく、二つの量どうしをくらべる話は比・割合・比例の主題です。そして、分数の小数が止まるか永遠にくり返すかは分母の素因数が決めます — 数論（英語）で。