Frações equivalentes e números mistos

Esta página segue as frações do jeito que o app as ensina: como uma escada, desde cortar algo em partes iguais até dividir uma fração por outra. Se você chegou querendo a resposta direta para como somar frações, o guia de frações responde exatamente isso e nada mais; este aqui é para a progressão inteira, e para os degraus que costumam ser pulados — equivalência, números mistos e fração de uma quantia.

Uma ideia segura tudo. O número de baixo é uma unidade, não uma quantidade. Quintos e oitavos são pedaços de tamanhos diferentes, e quase toda regra abaixo é sobre igualar o tamanho dos pedaços antes de contá-los, ou sobre recortá-los de propósito.

Onde as frações começam

Começam com a palavra iguais. Partes iguais trata só disso: três de quatro pedaços só é três quartos se os quatro pedaços tiverem o mesmo tamanho, e uma figura cortada em quatro pedaços desiguais não está mostrando quartos coisa nenhuma. Essa distinção é o que faz das frações aritmética, e não descrição.

Metades, quartos, terços nomeia as primeiras, e Em cima e embaixo é onde a notação chega: o de baixo diz em quantos pedaços o inteiro foi cortado, o de cima diz quantos você tem. A fração de um grupo dá então o salto que pega as pessoas — uma fração pode descrever um grupo de objetos, não só uma figura recortada. Metade de 12 fichas são 6, e o "inteiro" são as doze.

O que torna duas frações equivalentes?

Multiplicar o de cima e o de baixo pelo mesmo número não muda o valor. Frações equivalentes mostra o porquê com uma imagem: cada pedaço é cortado no mesmo número de pedaços menores e você pega proporcionalmente mais deles, então a quantidade na sua mão fica intocada.

2/3 = 8/12 (os dois × 4). $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{50}{100}$1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100.

Rode isso ao contrário e você tem a Forma irredutível — siga dividindo até nada dividir os dois, que é o mesmo que dividir uma vez pelo máximo divisor comum. $\frac{18}{24}÷6\to \frac{3}{4}$18/24 ÷ 6 → 3/4. Achar esse divisor depressa é serviço para a caixa de ferramentas de fatores e múltiplos.

Um denominador comum é a equivalência usada na outra direção: em vez de simplificar uma fração, você faz duas frações combinarem, para as contagens enfim poderem ser comparadas ou somadas.

Como comparar duas frações?

Iguale o tamanho dos pedaços e compare as contagens. Os três atalhos abaixo são esse método com um passo pulado.

Mesmo de baixo. Mesmo número de baixo: 5/8 > 3/8, porque cinco oitavos são mais oitavos que três.

Mesmo de cima. Mesmo número de cima: 3/5 > 3/8. Três pedaços de qualquer jeito, mas o quinto é o pedaço maior. Esta é a comparação que parece de trás para frente e não é — mais cortes fazem pedaços menores.

Nenhum dos dois. Mais que a metade é a primeira conferida mais rápida: dobre o de cima e veja como cai em relação ao de baixo. $\frac{7}{16}$7/16 — o dobro de 7 é 14, abaixo de 16, então é menos que a metade. Se uma fração passa da metade e a outra não, acabou.

Ordenar frações põe três ou mais em ordem, que é onde o denominador comum deixa de ser opcional: $\frac{2}{3}$2/3, $\frac{3}{5}$3/5, 7/10 → quinze avos e décimos não se entendem, então use trinta avos → 20/30, $\frac{18}{30}$18/30, 21/30 → 3/5 < 2/3 < 7/10.

Somar e subtrair

Com os de baixo iguais, soma-se contando. Somar frações com o mesmo denominador: $\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$2/7 + 3/7 = 5/7, pelo mesmo motivo que dois metros mais três metros são cinco metros. A unidade não está sendo somada; ela é o que torna as contagens somáveis.

Somar frações com denominadores diferentes é a mesma soma depois de um passo de preparação. 1/3 + 1/4 → doze avos → 4/12 + 3/12 = 7/12. Multiplicar os dois de baixo sempre produz um denominador comum utilizável; o mínimo múltiplo comum só deixa menos para simplificar depois.

Subtrair frações é o movimento idêntico: $\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\to \frac{9}{12}-\frac{8}{12}=\frac{1}{12}$3/4 − 2/3 → 9/12 − 8/12 = 1/12.

Frações impróprias e números mistos

Uma fração imprópria tem o de cima pelo menos tão grande quanto o de baixo, o que só significa que ela vale um ou mais. Frações impróprias deixa claro que não há nada de errado com $\frac{7}{4}$7/4 — sete quartos existem, só são mais que um inteiro.

Números mistos é o outro jeito de escrever a mesma quantidade: $\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$7/4 = 1 3/4, um inteiro e três quartos.

Números mistos e frações impróprias dá as duas conversões, e as duas são só divisão e multiplicação.

• De imprópria para mista: divida o de cima pelo de baixo; o quociente é a parte inteira, o resto fica em cima. $\frac{17}{5}\to 17÷5=3$17/5 → 17 ÷ 5 = 3 com resto $2\to 3\frac{2}{5}$2 → 3 2/5.
• De mista para imprópria: inteiro × de baixo, mais o de cima. $3\frac{2}{5}\to 3\times 5+2=17\to \frac{17}{5}$3 2/5 → 3 × 5 + 2 = 17 → 17/5.

Somar e subtrair números mistos

Trate os inteiros e as partes separadamente, e arrume no fim. $2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\to 2+1=3$2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3, e 1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4, então $4\frac{1}{4}$4 1/4.

A subtração é onde dá errado, porque às vezes a parte fracionária não dá. O conserto é o empréstimo, exatamente como na subtração em coluna: pegue um inteiro e transforme-o em pedaços. 3 1/5 − 1 3/5 → empreste um inteiro como cinco quintos → 2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5. Converter os dois números em frações impróprias primeiro — $\frac{16}{5}-\frac{8}{5}=\frac{8}{5}$16/5 − 8/5 = 8/5 — evita o empréstimo por completo e é o caminho mais seguro quando os números são espinhosos.

Como achar a fração de uma quantia?

Divida pelo de baixo e multiplique pelo de cima. A fração de uma quantia resolve com calma: $\frac{3}{4}$3/4 de $60\to 60÷4=15\to 15\times 3=45$60 → 60 ÷ 4 = 15 → 15 × 3 = 45.

Dividir primeiro mantém os números pequenos, o que importa quando a conta é de cabeça. A ordem é reversível quando isso ajuda — 3 × 60 = 180, depois ÷ 4 = 45 — e a mesma resposta chegando pelos dois caminhos merece atenção, porque é o motivo de a regra do "de" e a da multiplicação serem a mesma regra.

Multiplicar e dividir frações

Estas são as que as pessoas temem, e são as fáceis — nenhuma das duas precisa de denominador comum.

Multiplicar frações: direto, em linha. $\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$2/3 × 4/5 = 8/15.

Dividir por uma fração se lê melhor como uma pergunta de encaixe. $\frac{1}{2}÷\frac{1}{6}$1/2 ÷ 1/6 pergunta quantos sextos cabem numa metade, e a resposta é três — visível antes de qualquer inversão. A inversão é um atalho para essa pergunta: $\frac{1}{2}\times \frac{6}{1}=3$1/2 × 6/1 = 3.

Dividir uma fração por outra cuida do caso geral, em que o encaixe não é inteiro. $\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times \frac{5}{2}=\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}$3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 7/8. Dois quintos cabem em três quartos não exatamente duas vezes, e a fração é o encaixe parcial.

Os quatro erros que merecem nome

• Somar os de baixo. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$1/2 + 1/2 é 1, não $\frac{2}{4}$2/4. O denominador nomeia a unidade; ele não se acumula.
• Multiplicar um número misto no lugar. $2\frac{1}{2}\times 3$2 1/2 × 3 não é $6\frac{1}{2}$6 1/2. Converta para $\frac{5}{2}$5/2 primeiro, depois multiplique.
• Simplificar só uma linha. O que você faz em cima, faz embaixo, ou o valor se move.
• Procurar denominador comum antes de multiplicar. Não é errado, é trabalho jogado fora — a multiplicação não precisa de unidades iguais.

Para onde isso leva

Uma fração cujo de baixo é dez ou cem é um decimal, e uma cujo de baixo é cem é uma porcentagem — a mesma quantidade em três notações, continuada em decimais, porcentagens e juros. Comparar duas quantidades, em vez de uma parte com o todo, é o assunto de razão, taxas e proporção. E se o decimal de uma fração para ou repete para sempre é decidido pelos fatores primos do denominador, na teoria dos números.

Pratique no jogo

O Math Challenge ensina cada degrau acima como uma lição ilustrada — a imagem da equivalência, a conversão do número misto, o argumento do encaixe para a divisão — dentro de um catálogo de mais de 800 lições pela escada inteira. Quando uma pergunta de treino sai errada, o app reensina o trecho de onde ela veio, não um parecido.

O tópico Frações treina soma e subtração, começando com denominadores amigáveis e alargando conforme você acerta.

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