Fractions équivalentes et nombres fractionnaires

Mis à jour 13 octobre 2026

Cette page suit les fractions comme l'application les enseigne : en échelle, depuis la découpe d'une chose en parts égales jusqu'à la division d'une fraction par une autre. Si vous êtes venu chercher la réponse directe à comment additionner des fractions, le guide des fractions répond exactement à cela et à rien d'autre ; celui-ci couvre la progression entière, et les barreaux que l'on saute — l'équivalence, les nombres fractionnaires, et les fractions d'une quantité.

Une seule idée tient l'ensemble. Le nombre du bas est une unité, pas une quantité. Les cinquièmes et les huitièmes sont des parts de tailles différentes, et presque chaque règle ci-dessous consiste à rendre les parts de même taille avant de les compter, ou à les redécouper exprès.

Où commencent les fractions

Elles commencent avec le mot égal. Des parts égales ne parle de rien d'autre : trois parts sur quatre ne font trois quarts que si les quatre parts ont la même taille, et une figure coupée en quatre morceaux inégaux ne montre pas des quarts du tout. Cette distinction est ce qui fait des fractions de l'arithmétique plutôt que de la description.

Moitiés, quarts, tiers nomme les premières, et Le haut et le bas est l'endroit où la notation arrive : le bas dit en combien de parts le tout a été coupé, le haut dit combien vous en avez. Une fraction d'un groupe fait ensuite le saut qui surprend — une fraction peut décrire un groupe d'objets, pas seulement une figure découpée. La moitié de 12 jetons, c'est 6, et le « tout », c'est les douze.

Qu'est-ce qui rend deux fractions équivalentes ?

Deux fractions sont équivalentes quand elles nomment la même quantité, et multiplier ou diviser le haut et le bas par le même nombre transforme l'une en l'autre. Les fractions équivalentes le montre avec une barre : coupez chaque cinquième de $\frac{3}{5}$3/5 en 3 parts égales, et la barre montre maintenant 9 parts colorées sur 15, donc $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$3/5 = 9/15. La quantité colorée n'a pas bougé ; il y a trois fois plus de parts, chacune un tiers de la taille. C'est pourquoi la règle fonctionne : multiplier le haut et le bas par 3, c'est multiplier par $\frac{3}{3}$3/3, qui vaut 1. Diviser fonctionne de la même façon en sens inverse, donc $\frac{9}{15}$9/15 redevient $\frac{3}{5}$3/5 quand les deux parties sont divisées par 3. Cela casse si vous faites quelque chose de différent à chaque partie, ou si vous ajoutez : $\frac{3}{5}$3/5 avec 1 ajouté à chaque partie devient $\frac{4}{6}$4/6, qui est plus grand. Pour vérifier, multipliez en croix : 3 × 15 = 45 et 5 × 9 = 45, donc les deux fractions sont égales.

$\frac{2}{3}=\frac{8}{12}\left(\text{les deux}\times 4\right)$2/3 = 8/12 (les deux × 4). $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{50}{100}$1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100.

Jouez-le à l'envers et vous obtenez La forme irréductible — continuez de diviser jusqu'à ce que rien ne divise les deux, ce qui revient à diviser une seule fois par le plus grand facteur commun. $\frac{18}{24}÷6\to \frac{3}{4}$18/24 ÷ 6 → 3/4. Trouver ce facteur vite est un travail pour la boîte à outils facteurs et multiples.

Un dénominateur commun, c'est l'équivalence employée dans l'autre sens : au lieu de rendre une fraction plus simple, vous faites coïncider deux fractions, pour que leurs comptes puissent enfin se comparer ou s'additionner.

Comment comparer deux fractions ?

Pour comparer deux fractions, réécrivez-les avec le même dénominateur et comparez les numérateurs : le numérateur le plus grand nomme la fraction la plus grande. Pour $\frac{4}{5}$4/5 et $\frac{5}{7}$5/7, utilisez 35 comme dénominateur, puisque 5 × 7 = 35 : $\frac{4}{5}=\frac{28}{35}$4/5 = 28/35 et $\frac{5}{7}=\frac{25}{35}$5/7 = 25/35, donc $\frac{4}{5}$4/5 est plus grand. Des parts de même taille se comptent directement. Quand les numérateurs correspondent déjà, la règle s'inverse : le dénominateur le plus petit nomme la fraction la plus grande, parce que moins de coupes laissent des parts plus grandes, donc $\frac{3}{4}$3/4 est plus grand que $\frac{3}{10}$3/10. Une paire de part et d'autre d'une moitié n'a pas besoin d'être réécrite. Doublez chaque numérateur et comparez-le à son dénominateur : pour $\frac{3}{7}$3/7 et $\frac{5}{9}$5/9, 3 × 2 = 6 est inférieur à 7 et 5 × 2 = 10 est supérieur à 9, donc $\frac{3}{7}$3/7 est sous une moitié, $\frac{5}{9}$5/9 est au-dessus, et $\frac{5}{9}$5/9 est plus grand. Pour vérifier la première paire, multipliez en croix : 4 × 7 = 28 et 5 × 5 = 25, et le plus grand produit va avec $\frac{4}{5}$4/5.

Même bas. Même nombre du bas : $\frac{5}{8}>\frac{3}{8}$5/8 > 3/8, parce que cinq huitièmes, c'est plus de huitièmes que trois.

Même haut. Même nombre du haut : $\frac{3}{5}>\frac{3}{8}$3/5 > 3/8. Trois parts dans les deux cas, mais le cinquième est la part la plus grande.

Ni l'un ni l'autre. Plus qu'une moitié est le premier test le plus rapide : doublez le haut et voyez où il tombe face au bas. $\frac{7}{16}$7/16 — le double de 7 est 14, sous 16, donc c'est moins qu'une moitié.

Ranger les fractions en ordonne trois ou plus, et c'est là qu'un dénominateur commun cesse d'être optionnel : $\frac{2}{3}$2/3, $\frac{3}{5}$3/5, $\frac{7}{10}\to$7/10 → quinzièmes et dixièmes ne s'accordent pas, alors prenez des trentièmes $\to \frac{20}{30}$→ 20/30, $\frac{18}{30}$18/30, $\frac{21}{30}\to \frac{3}{5}<\frac{2}{3}<\frac{7}{10}$21/30 → 3/5 < 2/3 < 7/10.

Additionner et soustraire

Des bas identiques s'additionnent en comptant. Additionner des fractions de même dénominateur : $\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$2/7 + 3/7 = 5/7, pour la même raison que deux mètres plus trois mètres font cinq mètres. L'unité ne s'additionne pas ; elle est ce qui rend les comptes additionnables.

L’explication complète, avec ses figures et ses questions : Comment additionne-t-on et soustrait-on des fractions ?.

Fractions impropres et nombres fractionnaires

Une fraction impropre a un haut au moins aussi grand que son bas, ce qui veut simplement dire qu'elle vaut un ou plus. Les fractions impropres insiste sur le fait que rien ne cloche avec $\frac{7}{4}$7/4 — sept quarts existent, ils dépassent juste un tout.

Les nombres fractionnaires est l'autre écriture de la même quantité : $\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$7/4 = 1 3/4, un tout et trois quarts.

Nombres fractionnaires et fractions impropres donne les deux conversions, et les deux ne sont que division et multiplication.

• D'impropre à fractionnaire : divisez le haut par le bas ; le quotient est la partie entière, le reste demeure en haut. $\frac{17}{5}\to 17÷5=3$17/5 → 17 ÷ 5 = 3 reste $2\to 3\frac{2}{5}$2 → 3 2/5.
• De fractionnaire à impropre : l'entier × le bas, plus le haut. $3\frac{2}{5}\to 3\times 5+2=17\to \frac{17}{5}$3 2/5 → 3 × 5 + 2 = 17 → 17/5.

Additionner et soustraire des nombres fractionnaires

Traitez les entiers et les parts séparément, puis rangez. $2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\to 2+1=3$2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3, et $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4, donc $4\frac{1}{4}$4 1/4.

La soustraction est l'endroit où cela déraille, parce que la partie fractionnaire parfois ne passe pas. Le remède est l'emprunt, exactement comme dans la soustraction posée : prenez un tout et changez-le en parts. $3\frac{1}{5}-1\frac{3}{5}\to$3 1/5 − 1 3/5 → empruntez un tout en cinq cinquièmes $\to 2\frac{6}{5}-1\frac{3}{5}=1\frac{3}{5}$→ 2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5. Convertir d'abord les deux nombres en fractions impropres — $\frac{16}{5}-\frac{8}{5}=\frac{8}{5}$16/5 − 8/5 = 8/5 — évite l'emprunt tout entier et reste la route la plus sûre quand les nombres se compliquent.

Comment prendre une fraction d'une quantité ?

Pour trouver une fraction d'une quantité, divisez la quantité par le bas, puis multipliez par le haut. Une fraction d'une quantité le déroule : $\frac{3}{4}$3/4 de $60\to 60÷4=15\to 15\times 3=45$60 → 60 ÷ 4 = 15 → 15 × 3 = 45. Diviser par 4 trouve un quart de 60, qui est 15, et trois quarts, c'est trois de ces parts, 45. Le bas dit en combien de parts égales diviser, et le haut dit combien en prendre. Quand le haut est 1, diviser est tout le travail : $\frac{1}{5}$1/5 de 35 est 35 ÷ 5 = 7. Quand la quantité ne se divise pas exactement, multipliez d'abord à la place : $\frac{2}{3}$2/3 de 10 est 2 × 10 = 20, puis 20 ÷ 3, ce qui fait $6\frac{2}{3}$6 2/3. Les deux ordres donnent la même réponse. Pour vérifier, rajoutez les parties : le quart qui reste est 15, et 45 + 15 = 60.

Diviser d'abord garde les nombres petits, ce qui compte quand on calcule de tête. L'ordre se renverse quand cela aide — 3 × 60 = 180, puis ÷ 4 = 45 — et la même réponse qui arrive par les deux chemins mérite un regard, parce que c'est la raison pour laquelle la règle du « fraction de » et celle de la multiplication sont une seule règle.

Multiplier et diviser des fractions

Pour multiplier des fractions, multipliez les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, sans besoin de dénominateur commun : $\frac{5}{6}\times \frac{3}{10}=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$5/6 × 3/10 = 15/60 = 1/4. Multiplier par une fraction prend cette part de la quantité, donc cinq sixièmes de trois dixièmes est plus petit que chacune des deux fractions. Pour diviser par une fraction, retournez cette fraction et multipliez : $\frac{2}{3}÷\frac{1}{9}=\frac{2}{3}\times \frac{9}{1}=\frac{18}{3}=6$2/3 ÷ 1/9 = 2/3 × 9/1 = 18/3 = 6. Le retournement fonctionne parce que diviser demande combien de neuvièmes tiennent dans deux tiers, et chaque tiers contient 3 neuvièmes, donc deux tiers en contiennent 6. Diviser par une fraction inférieure à 1 donne toujours une réponse plus grande, parce qu'une petite part tient plusieurs fois. Un nombre fractionnaire doit d'abord devenir une fraction impropre : $1\frac{1}{3}÷\frac{1}{3}$1 1/3 ÷ 1/3 devient $\frac{4}{3}\times \frac{3}{1}=\frac{12}{3}=4$4/3 × 3/1 = 12/3 = 4. Pour vérifier une division, multipliez la réponse par la fraction par laquelle vous avez divisé : $6\times \frac{1}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$6 × 1/9 = 6/9 = 2/3.

Multiplier des fractions : tout droit. $\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$2/3 × 4/5 = 8/15.

Diviser par une fraction se lit le mieux comme une question d'emboîtement. $\frac{1}{2}÷\frac{1}{6}$1/2 ÷ 1/6 demande combien de sixièmes tiennent dans une moitié, et la réponse est trois — visible avant tout retournement. Le retournement est un raccourci pour cette question : $\frac{1}{2}\times \frac{6}{1}=3$1/2 × 6/1 = 3.

Diviser une fraction par une fraction traite le cas général, où l'emboîtement n'est pas un nombre entier. $\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times \frac{5}{2}=\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}$3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 7/8. Deux cinquièmes tient dans trois quarts pas tout à fait deux fois, et la fraction est la part d'emboîtement.

Les quatre erreurs qui méritent un nom

• Additionner les bas. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$1/2 + 1/2 fait 1, pas $\frac{2}{4}$2/4. Le dénominateur nomme l'unité ; il ne s'accumule pas.
• Multiplier un nombre fractionnaire sur place. $2\frac{1}{2}\times 3$2 1/2 × 3 ne fait pas $6\frac{1}{2}$6 1/2. Convertissez en $\frac{5}{2}{d}^{\prime }$5/2 d'abord, puis multipliez.
• Simplifier une seule ligne. Ce que vous faites au haut, vous le faites au bas, sinon la valeur bouge.
• Chercher un dénominateur commun avant de multiplier. Pas faux, juste du travail perdu — la multiplication n'a pas besoin d'unités assorties.

La suite du chemin

Une fraction dont le bas est dix ou cent est un décimal, et une fraction dont le bas est cent est un pourcentage — la même quantité en trois notations, poursuivie dans décimaux, pourcentages et intérêts. Comparer deux quantités plutôt qu'une part à un tout est le sujet de ratios, taux et proportion. Et qu'un décimal de fraction s'arrête ou se répète pour toujours, ce sont les facteurs premiers de son dénominateur qui en décident, dans la théorie des nombres.