Fractions équivalentes et nombres fractionnaires
Cette page suit les fractions comme l'application les enseigne : en échelle, depuis la découpe d'une chose en parts égales jusqu'à la division d'une fraction par une autre. Si vous êtes venu chercher la réponse directe à comment additionner des fractions, le guide des fractions répond exactement à cela et à rien d'autre ; celui-ci couvre la progression entière, et les barreaux que l'on saute — l'équivalence, les nombres fractionnaires, et les fractions d'une quantité.
Une seule idée tient l'ensemble. Le nombre du bas est une unité, pas une quantité. Les cinquièmes et les huitièmes sont des parts de tailles différentes, et presque chaque règle ci-dessous consiste à rendre les parts de même taille avant de les compter, ou à les redécouper exprès.
Où commencent les fractions
Elles commencent avec le mot égal. Des parts égales ne parle de rien d'autre : trois parts sur quatre ne font trois quarts que si les quatre parts ont la même taille, et une figure coupée en quatre morceaux inégaux ne montre pas des quarts du tout. Cette distinction est ce qui fait des fractions de l'arithmétique plutôt que de la description.
Moitiés, quarts, tiers nomme les premières, et Le haut et le bas est l'endroit où la notation arrive : le bas dit en combien de parts le tout a été coupé, le haut dit combien vous en avez. Une fraction d'un groupe fait ensuite le saut qui surprend — une fraction peut décrire un groupe d'objets, pas seulement une figure découpée. La moitié de 12 jetons, c'est 6, et le « tout », c'est les douze.
Qu'est-ce qui rend deux fractions équivalentes ?
Multiplier le haut et le bas par le même nombre ne change pas la valeur. Les fractions équivalentes montre pourquoi avec une image : chaque part est coupée en le même nombre de parts plus petites et vous en prenez proportionnellement plus, si bien que la quantité dans votre main n'est pas touchée.
2/3 = 8/12 (les deux × 4). .
Jouez-le à l'envers et vous obtenez La forme irréductible — continuez de diviser jusqu'à ce que rien ne divise les deux, ce qui revient à diviser une seule fois par le plus grand facteur commun. . Trouver ce facteur vite est un travail pour la boîte à outils facteurs et multiples.
Un dénominateur commun, c'est l'équivalence employée dans l'autre sens : au lieu de rendre une fraction plus simple, vous faites coïncider deux fractions, pour que leurs comptes puissent enfin se comparer ou s'additionner.
Comment comparer deux fractions ?
Rendez les parts de même taille, puis comparez les comptes. Les trois raccourcis ci-dessous sont tous cette méthode avec une étape sautée.
Même bas. Même nombre du bas : 5/8 > 3/8, parce que cinq huitièmes, c'est plus de huitièmes que trois.
Même haut. Même nombre du haut : 3/5 > 3/8. Trois parts dans les deux cas, mais le cinquième est la part la plus grande. C'est la comparaison qui semble à l'envers et ne l'est pas — plus de coupes font des parts plus petites.
Ni l'un ni l'autre. Plus qu'une moitié est le premier test le plus rapide : doublez le haut et voyez où il tombe face au bas. — le double de 7 est 14, sous 16, donc c'est moins qu'une moitié. Si une fraction dépasse la moitié et que l'autre reste en dessous, vous avez terminé.
Ranger les fractions en ordonne trois ou plus, et c'est là qu'un dénominateur commun cesse d'être optionnel : , , 7/10 → quinzièmes et dixièmes ne s'accordent pas, alors prenez des trentièmes → 20/30, , 21/30 → 3/5 < 2/3 < 7/10.
Additionner et soustraire
Des bas identiques s'additionnent en comptant. Additionner des fractions de même dénominateur : , pour la même raison que deux mètres plus trois mètres font cinq mètres. L'unité ne s'additionne pas ; elle est ce qui rend les comptes additionnables.
Additionner des fractions de dénominateurs différents est la même somme après une étape de préparation. 1/3 + 1/4 → douzièmes → 4/12 + 3/12 = 7/12. Multiplier les deux bas produit toujours un dénominateur commun praticable ; le plus petit multiple commun laisse simplement moins à simplifier ensuite.
Soustraire des fractions est le geste identique : .
Fractions impropres et nombres fractionnaires
Une fraction impropre a un haut au moins aussi grand que son bas, ce qui veut simplement dire qu'elle vaut un ou plus. Les fractions impropres insiste sur le fait que rien ne cloche avec — sept quarts existent, ils dépassent juste un tout.
Les nombres fractionnaires est l'autre écriture de la même quantité : , un tout et trois quarts.
Nombres fractionnaires et fractions impropres donne les deux conversions, et les deux ne sont que division et multiplication.
- D'impropre à fractionnaire : divisez le haut par le bas ; le quotient est la partie entière, le reste demeure en haut. reste .
- De fractionnaire à impropre : l'entier × le bas, plus le haut. .
Additionner et soustraire des nombres fractionnaires
Traitez les entiers et les parts séparément, puis rangez. , et , donc .
La soustraction est l'endroit où cela déraille, parce que la partie fractionnaire parfois ne passe pas. Le remède est l'emprunt, exactement comme dans la soustraction posée : prenez un tout et changez-le en parts. 3 1/5 − 1 3/5 → empruntez un tout en cinq cinquièmes → 2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5. Convertir d'abord les deux nombres en fractions impropres — — évite l'emprunt tout entier et reste la route la plus sûre quand les nombres se compliquent.
Comment prendre une fraction d'une quantité ?
Divisez par le bas, puis multipliez par le haut. Une fraction d'une quantité le déroule : de .
Diviser d'abord garde les nombres petits, ce qui compte quand on calcule de tête. L'ordre se renverse quand cela aide — 3 × 60 = 180, puis ÷ 4 = 45 — et la même réponse qui arrive par les deux chemins mérite un regard, parce que c'est la raison pour laquelle la règle du « fraction de » et celle de la multiplication sont une seule règle.
Multiplier et diviser des fractions
Ce sont celles que l'on aborde crispé, et ce sont les faciles — aucun dénominateur commun n'est requis, ni pour l'une ni pour l'autre.
Multiplier des fractions : tout droit. .
Diviser par une fraction se lit le mieux comme une question d'emboîtement. demande combien de sixièmes tiennent dans une moitié, et la réponse est trois — visible avant tout retournement. Le retournement est un raccourci pour cette question : .
Diviser une fraction par une fraction traite le cas général, où l'emboîtement n'est pas un nombre entier. . Deux cinquièmes tient dans trois quarts pas tout à fait deux fois, et la fraction est la part d'emboîtement.
Les quatre erreurs qui méritent un nom
- Additionner les bas. fait 1, pas . Le dénominateur nomme l'unité ; il ne s'accumule pas.
- Multiplier un nombre fractionnaire sur place. ne fait pas . Convertissez en 5/2 d'abord, puis multipliez.
- Simplifier une seule ligne. Ce que vous faites au haut, vous le faites au bas, sinon la valeur bouge.
- Chercher un dénominateur commun avant de multiplier. Pas faux, juste du travail perdu — la multiplication n'a pas besoin d'unités assorties.
La suite du chemin
Une fraction dont le bas est dix ou cent est un décimal, et une fraction dont le bas est cent est un pourcentage — la même quantité en trois notations, poursuivie dans décimaux, pourcentages et intérêts. Comparer deux quantités plutôt qu'une part à un tout est le sujet de ratios, taux et proportion. Et qu'un décimal de fraction s'arrête ou se répète pour toujours, ce sont les facteurs premiers de son dénominateur qui en décident, dans la théorie des nombres.
S'entraîner dans le jeu
Math Challenge enseigne chaque barreau ci-dessus comme une leçon illustrée — l'image de l'équivalence, la conversion des nombres fractionnaires, l'argument d'emboîtement pour la division — au sein d'un catalogue de plus de 800 leçons sur toute l'échelle. Quand un exercice tourne mal, l'application réenseigne le temps d'où venait la question, plutôt qu'un temps voisin.
Le thème Fractions fait travailler l'addition et la soustraction, en commençant par des dénominateurs commodes et en élargissant à mesure que vous réussissez.
À vous de jouer
Trois à essayer — touchez ce que vous trouvez.
Laquelle vaut 3/4 ?
7/2 en nombre fractionnaire
2 2/5 en fraction impropre