計算の方法
計算のやり方は二つあり、達者であるとは、その二つをすばやく選び分けられることがほとんどです。暗算は数をやさしい形に作り替えます — 速いけれど、数が味方をしてくれるかどうかに頼ります。筆算は数の顔つきを気にせず、一定の手間で確実にすり進みます。
どちらも同じ一つの考え — 位取り — の上に立っています。くり上がりも、くり下がりも、分けるのも、2倍にするのも、みんな同じ「十をたばねてほどく」作業を、別の書き方でしているだけです。このページは段ばしごを全部歩きます。段ごとに例題と、それが正しい理由をつけて。
たし算はどこから始まるのか
目で見えるくらい小さい量から始まります。20までのたし算と取り去るが最初のひと組で、わざと「決まりを信じる」のではなく「見てたしかめられる」範囲にとどめてあります。
かけ算とわり算も同じく、事実としてではなく並べ方として始まります。同じ数のまとまりで、かけ算は同じ大きさのまとまりを数えることだと定まり、たてとよこがそのまとまりを長方形に並べるので、3 × 4 と 4 × 3 が同じ長方形を横に倒しただけだと目で見え、等しく分けるが、わり算をその長方形が逆向きに答える問いとして紹介します。その思い出しを反射にする話は九九のガイドが受け持ち、以下はそれができている前提です。
頭の中でどう足すのか
同じ答えを持つ、もっとやさしい式に作り替えることによってです。持っておく値打ちのある動きは五つで、この五つでほとんどすべてをまかなえます。
並べ替える。好きな順に足すがすべての免許です。7 + 24 + 3 は 7 + 3 + 24 = 34 になります。たし算は、与えられた順番を気にしないからです。
分ける。分けて足すは数を位取りに沿って割ります — 、そして 6 + 7 = 13、だから 83。これは筆算のたし算を、左から右へ声に出してやったものです。
10を経由する。10をわたるは10を飛び石に使います。、あと 3 で 13。初期の算数でいちばん役に立つ動きです。10は、書き方がギアを変える場所だからです。
2倍を使う。ぞろ目とその近くは 7 + 8 を 7 + 7 + 1 = 15 に変えます。同じ数どうしのたし算はどのたし算の事実よりも速く思い出せるので、ぞろ目まであと1の式は、ほとんどただです。
丸めて直す。丸めて直すは大人がいちばん使うものです。、足した 2 を返して → 245。
取り去らないひき算
ひき算には専用の動きが二つあり、どちらも「取り去る」ではありません。数え上がって引くは 82 − 67 を 67 から 82 までのへだたりとして読みます。70 まで3、そのあと12、だから 15。レジが計算してくれる前の時代に、店の人がおつりを渡していたやり方です。
同じ差のほうが強力です。両方の数を同じだけすべらせても、あいだのへだたりは手つかずのまま — だから 82 − 67 = 85 − 70 = 15。二つ目の数がきりのよい数になるすべらせ方を選べば、ひき算は仕事であることをやめます。
筆算のたし算は、ほんとうは何をしているのか
位には数字が一つしか入れず、何であれ10個で次の位の1個になる — それがすべてです。位をそろえて書くは、飛ばした人があとで支払う段です。一の下に一、十の下に十。そうしてはじめて、同じもの同士だけが足されます。
くり上がりは、位があふれたときに起こることです。47 + 38：7 + 8 = 一が15個。うち10個は十にたばねてとなりへくり上げ、5 が残る。次に 4 + 3 + 1 = 十が8個。答え 85。
二つ以上の位でのくり上がりはなだれを見せます — くり上がりが次のくり上がりを呼ぶことがあり、そうなっても決まりは何一つ変わりません。
くり下がり、そして0をまたぐくり下がり
くり下がりはくり上がりの逆回しです。となりの位の十を一つ、一が10個にほどけば、この位のひき算が可能になります。52 − 27：2 − 7 は引けないので十を一つ借りる。12 − 7 = 5、次に 4 − 2 = 2。答え 25。
0をまたいで借りるは、みんなが止まる場合を受け持ちます。300 − 176：十の位には貸すものがないので、百がこちらへ来て二度ほどかれます — 百が2、十が9、一が10 — あとはふつうにひき算が走って 124。現れる9の並びはトリックではありません。百を十と一にほどくと、そういう姿になるのです。
頭の中でどうかけて、どう割るのか
同じやり方です。先に作り替えて、あとで計算する。10倍と100倍がいかりです — どの数字も一つ左の位へ移ります。理由は位取りであって「0をつける」ではありません。あちらは小数が来たとたんに壊れる決まりです。
分けてかけるが働き者です。、7 × 4 = 28、合わせて 238。2倍してかけるは2倍を2回・3回くり返して ×4 と ×8 にとどき、半分にして割ると対になって、÷4 を半分2回に変えます。
分けて割るは、割られる数のほうを扱いやすいかたまりに割ります。、16 ÷ 4 = 4、だから 24。そして丸めて見積もるは、間違った答えを信じ終わる前につかまえる習慣です — ,000 なので、200 や 20,000 に近い答えは、けたの置き間違いです。割るほうの暗算はわり算のガイドがさらに深く進みます。
かけ算とわり算の筆算はどうするのか
たてに並べてかけるは、分けてかける方法をそのまま紙に書くので、頭の中に何も抱えずにすみます。二けた×二けたはそれを二度やって、二つの部分積を足します。二行目が一つ左にずれるのはそのためです — あの行は十をかけているのだから、十を書く場所に書かれなければなりません。
、そして 24 × 30 = 720、だから 864。
長いわり算は悪名のあるほうですが、その薬は、ひと回りが何をしているかを知ることです。ひと回りは位取りをちょうど一つ、左から処理し、四つの手順が姿を変えずにくり返されます。
- たてる：いま見ている部分に、割る数は何回入るか。
- かける：その数字×割る数を、下に書く。
- ひく：処理した部分の残りはいくつか。
- 次のけたをおろして、最初の手順へ戻る。
に 4 は2回。5 をおろすと 4 は1回であまり1。2 をおろして 12 にすると 4 は3回。答え 213。
最後のひき算が0にとどかなければ、残ったものがあまりです。あまりは、それをどうするか — 切り上げるか、切り捨てるか、分数として持っておくか — を決める話で、これは計算ではなく状況への問いです。13人の子どもが4人乗りの車で行くなら、3台とあまり1人 — 答えは4台です。
なぜかけ算はたし算より先なのか
かけ算は、順番を待っている指図ではなく、すでにひとまとまりに包まれた量だからです。2 + 3 × 4 の 3 × 4 は4が三つ — 一つの量、12 — なので、式の値は 14 です。
かけ算・わり算が先がその論をきちんと立て、かっこが最初が、もう一つの問いをわざと立てるための書き方を紹介します。(2 + 3) × 4 = 20。四則とかっこがすべての段を組み合わせます。8 ÷ 2 × 4 = 16 であって 1 ではない、という左から右のわなも含めて。それこそがたずねたかったことなら、専用の計算の順序のガイドがあります。
名前をつけておく値打ちのある間違い、四つ
- 位ではなく端をそろえる。筆算では位こそがすべてです。右端がふぞろいなのはかまいませんが、位のずれはいけません。
- 10倍は「0をつける」。整数では動きますが、3.5 × 10 で即座に壊れます。動くのは数字で、点はその場にとどまります。
- 数が味方のときに筆算を選ぶ。198 + 47 をたてに並べるのは、丸めて直すより遅く、間違いも増えます。
- 問いもせずにあまりを捨てる。あまりの意味は、何を分けているかでまるごと決まります。
この先へ
これらの方法はすべて、整数と位取りで述べた位の上に立っていて、小数点の先まで姿を変えずにのびます — そこからは小数と百分率の段ばしごが引き継ぎます。どのわり算が割り切れるのかと問えば、約数・倍数・素数（英語）へ入っていきます。
ゲームで練習する
Math Challenge は暗算ゲームで、上のどの段の後ろにも図解レッスンがあります — 絵つきで順を追った導き、それから、間違えたまさにその問題を教え直す練習問題。これらは段ばしご全体にまたがる800本超のカタログの中にあります。
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あなたの番
三問だけ — 正解だと思うものをタップしてください。
47 + 38
82 − 47
34 × 5