計算の方法

更新 2026年10月13日

計算のやり方は二つあり、達者であるとは、その二つをすばやく選び分けられることがほとんどです。暗算は数をやさしい形に作り替えます — 速いけれど、数が味方をしてくれるかどうかに頼ります。筆算は数の顔つきを気にせず、一定の手間で確実にすり進みます。

どちらも同じ一つの考え — 位取り — の上に立っています。くり上がりも、くり下がりも、分けるのも、2倍にするのも、みんな同じ「十をたばねてほどく」作業を、別の書き方でしているだけです。このページは段ばしごを全部歩きます。段ごとに例題と、それが正しい理由をつけて。

たし算はどこから始まるのか

たし算は、目で見て数えられるくらい小さい量から始まり、最初の決まりは大きいほうの数から数え足すことです。20までのたし算はそこから始まります。3 + 9 なら9から数えはじめて3つ数え足すと10、11、12となり、3 + 9 = 12 です。大きいほうから数えはじめるのは、順番を変えても合計は変わらないからで、9回よりも3回数えるほうが間違えにくいからでもあります。取り去るは同じ考え方を逆向きに使ったもので、12 − 5 なら12から5歩数え戻って7にたどり着きます。8 + 5 のように和が10をこえるときは、小さいほうの数を分けて、その最初の部分で10を作ります。8 + 2 = 10、それから3を足して13になります。こうした和はどれも20以内に収まるので、学ぶ人はおはじきなどで一つずつ確かめられます。ひき算もたし算を確かめる働きをします。13 − 5 = 8 は、もとの場所へ戻る計算だからです。

かけ算とわり算も同じく、事実としてではなく並べ方として始まります。同じ数のまとまりで、かけ算は同じ大きさのまとまりを数えることだと定まり、たてとよこがそのまとまりを長方形に並べるので、3 × 4 と 4 × 3 が同じ長方形を横に倒しただけだと目で見え、等しく分けるが、わり算をその長方形が逆向きに答える問いとして紹介します。その思い出しを反射にする話は九九のガイドが受け持ち、以下はそれができている前提です。

たし算で10になる数の組とは何か、何の役に立つのか

たし算で10になる数の組とは、足すと10になる2つの整数の組のことです。1と9、2と8、3と7、4と6、5と5、そして0と10。これは全部で6組しかなく、これを覚えている子どもは、1つずつ数え足す代わりに、小さな2つの段で10をまたぐことができます。7 + 6 なら、7はあと3で10になるので、6を3と3に分けます。すると 7 + 3 = 10、そして 10 + 3 = 13 です。10になる数の組は、10のわく——10個ますが並んだもの——を使ってこの組を教えます。わくに7個おはじきを置くと、3ますが空いたままになるので、7 + 3 = 10 です。空いたますが相棒で、いっぱいのますを数えなくても目で見えます。

10をまたいで引くのも同じ考え方の逆向きです。16 − 9 なら、まず6を引いて10に着地し、それから残りの3を引いて7にたどり着くので、16 − 9 = 7 です。数が欠けているときも同じです。3 + ? = 10 の答えは3の相棒、つまり7です。どの答えも、それがどこから来たかという事実で確かめられます。7 + 6 = 13 からは 13 − 6 = 7 と 13 − 7 = 6 も出てくるからです。この3つの事実は1つの家族です。

「どれだけ多いか」も、そう見えなくても引き算です。一方の列に12個、もう一方に8個のビー玉があるとき、両方の列から1個ずつビー玉を組にします。長いほうの列の4個のビー玉には相手がいないので、その列は4個多く、12 − 8 = 4 も同じことを言っています。多いと少ないは、この組づくりから始まります。どちらも数えなくても、どちらの列が長いかが見えるからです。もっと大きい数では、代わりに小さいほうの数から数え上げます。8から10までは2、10から12までさらに2、だから差は4です。

頭の中でどう足すのか

頭の中でたし算をするには、同じ答えになるもっとやさしい式に作り替えて、そのやさしい式を計算します。いちばんよくある作り替え方は、それぞれの数を十の位と一の位に分けることです。58 + 26 なら、十の位どうしを足して 50 + 20 = 70、次に一の位どうしを足して 8 + 6 = 14、最後にその二つを合わせて 70 + 14 = 84 になります。これがうまくいくのは、たし算の中の数をどう組み替えても合計が変わらないからです。数が十の倍数のすぐ手前にあるときは、分けるより切り上げるほうが速くなります。58 + 29 なら、29の代わりに30を足してから1を引き戻します。58 + 30 − 1 = 87。以下の五つの動きは、どれもこの考え方の別の形です。見積もりをしておけば間違いにも気づけます。58 + 29 は 60 + 30 = 90 に近いので、87 はもっともらしい答えで、77 や 97 はそうではありません。

並べ替える。好きな順に足すがすべての免許です。7 + 24 + 3 は 7 + 3 + 24 = 34 になります。たし算は、与えられた順番を気にしないからです。

分ける。分けて足すは数を位取りに沿って割ります — $46+37\to 40+30=70$46 + 37 → 40 + 30 = 70、そして 6 + 7 = 13、だから 83。これは筆算のたし算を、左から右へ声に出してやったものです。

10を経由する。10をわたるは10を飛び石に使います。$8+5\to 8+2=10$8 + 5 → 8 + 2 = 10、あと 3 で 13。初期の算数でいちばん役に立つ動きです。10は、書き方がギアを変える場所だからです。

2倍を使う。ぞろ目とその近くは 7 + 8 を 7 + 7 + 1 = 15 に変えます。同じ数どうしのたし算はどのたし算の事実よりも速く思い出せるので、ぞろ目まであと1の式は、ほとんどただです。

丸めて直す。丸めて直すは大人がいちばん使うものです。$198+47\to 200+47=247$198 + 47 → 200 + 47 = 247、足した 2 を返して $\to 245$→ 245。

取り去らないひき算

ひき算には専用の動きが二つあり、どちらも「取り去る」ではありません。数え上がって引くは 82 − 67 を 67 から 82 までのへだたりとして読みます。70 まで3、そのあと12、だから 15。レジが計算してくれる前の時代に、店の人がおつりを渡していたやり方です。

同じ差のほうが強力です。両方の数を同じだけすべらせても、あいだのへだたりは手つかずのまま — だから 82 − 67 = 85 − 70 = 15。二つ目の数がきりのよい数になるすべらせ方を選べば、ひき算は仕事であることをやめます。

筆算のたし算は、ほんとうは何をしているのか

筆算のたし算がうまくいくのは、位には数字が一つしか入らず、ある位で10集まると次の位の1になるからです。位をそろえて書くが最初の一歩で、一の位の下に一の位、十の位の下に十の位、百の位の下に百の位と並べ、同じ位どうしだけを足します。そのあと右の位から順に各位を足します。365 + 278 なら、一の位は 5 + 8 = 13 なので 3 を書いて十を1くり上げます。十の位は 6 + 7 + 1 = 14 なので 4 を書いて百を1くり上げます。百の位は 3 + 2 + 1 = 6 で、答えは 643 です。くり上げた1は見せかけではありません。13個の一は本当に1個の十と3個の一だからです。けたの数がそろわないときは、左端ではなく位でそろえるので、57 は 1,204 の下2けたの下に並びます。ひき算はたし算を打ち消して確かめになります。643 − 278 = 365 です。

くり上がりは、二桁のたし算ではこうなります：47 + 38：7 + 8 = 一が15個。うち10個は十にたばねてとなりへくり上げ、5 が残る。次に 4 + 3 + 1 = 十が8個。答え 85。

二つ以上の位でのくり上がりはなだれを見せます — くり上がりが次のくり上がりを呼ぶことがあり、そうなっても決まりは何一つ変わりません。

くり下がり、そして0をまたぐくり下がり

くり下がりはくり上がりの逆回しです。となりの位の十を一つ、一が10個にほどけば、この位のひき算が可能になります。52 − 27：2 − 7 は引けないので十を一つ借りる。12 − 7 = 5、次に 4 − 2 = 2。答え 25。

0をまたいで借りるは、みんなが止まる場合を受け持ちます。300 − 176：十の位には貸すものがないので、百がこちらへ来て二度ほどかれます — 百が2、十が9、一が10 — あとはふつうにひき算が走って 124。現れる9の並びはトリックではありません。百を十と一にほどくと、そういう姿になるのです。

頭の中でどうかけて、どう割るのか

頭の中でかけ算やわり算をするときも、先に数を作り替えてから計算します。10倍と100倍がその要で、10をかけるとどの数字も一つ左の位に動くので 47 × 10 = 470 になります。この決まりは位取りの話であって、小数点がついた数では「0をつける」というやり方は通用しません。もっと大きい積を求めるときは、数を十の位と一の位に分けます。6 × 47 なら、6 × 40 = 240 と 6 × 7 = 42 を求めてから足し合わせます：240 + 42 = 282。これがうまくいくのは、47 が 40 と 7 を合わせたものだからで、47 を6つ集めるのは 40 を6つと 7 を6つ集めるのと同じだからです。わり算も分けられますが、分けるのは割られる数だけです：84 ÷ 4 = 80 ÷ 4 + 4 ÷ 4 = 20 + 1 = 21。4 のほうを 2 と 2 に分けてしまうと答えが合いません。かけ算に戻すとわり算の確かめになります：21 × 4 = 84。

分けてかけるが働き者です。$7\times 34\to 7\times 30=210$7 × 34 → 7 × 30 = 210、7 × 4 = 28、合わせて 238。2倍してかけるは2倍を2回・3回くり返して ×4 と ×8 にとどき、半分にして割ると対になって、÷4 を半分2回に変えます。

分けて割るは、割られる数のほうを扱いやすいかたまりに割ります。$96÷4\to 80÷4=20$96 ÷ 4 → 80 ÷ 4 = 20、16 ÷ 4 = 4、だから 24。そして丸めて見積もるは、間違った答えを信じ終わる前につかまえる習慣です — $38\times 52\approx 40\times 50=2$38 × 52 ≈ 40 × 50 = 2,000 なので、200 や 20,000 に近い答えは、けたの置き間違いです。割るほうの暗算はわり算のガイドがさらに深く進みます。

かけ算とわり算の筆算はどうするのか

筆算のかけ算は一度に一つの位の数字だけをかけて、その結果（部分積）を一段ずつ書いていきます。たてに並べてかけるはそれを一回だけ行い、二けた×二けたはそれを二回行います。23 × 45 なら、一段目は 23 × 5 = 115。二段目は 23 × 40 = 920 なので、一つ左から書き始めます。二段を足すと 115 + 920 = 1,035 になります。ずれるのは、その段が十をかけているからです。ひっ算のわり算はこの逆で、左の位から一つずつ「割る・かける・引く・次の位を下ろす」をくり返します。割る数が最初の位の数より大きいときは、最初の二けたを使います。952 ÷ 7 なら、7 は 9 に1回入って2余り、25 に3回入って4余り、42 に6回入るので、答えは 136 です。かけ算に戻せば確かめになります：136 × 7 = 952。

$24\times 36\to 24\times 6=144$24 × 36 → 24 × 6 = 144、そして 24 × 30 = 720、だから 864。

長いわり算は悪名のあるほうですが、その薬は、ひと回りが何をしているかを知ることです。ひと回りは位取りをちょうど一つ、左から処理し、四つの手順が姿を変えずにくり返されます。

1. たてる：いま見ている部分に、割る数は何回入るか。
2. かける：その数字×割る数を、下に書く。
3. ひく：処理した部分の残りはいくつか。
4. 次のけたをおろして、最初の手順へ戻る。

$852÷4\to 8$852 ÷ 4 → 8 に 4 は2回。5 をおろすと 4 は1回であまり1。2 をおろして 12 にすると 4 は3回。答え 213。

最後のひき算が0にとどかなければ、残ったものがあまりです。あまりは、それをどうするか — 切り上げるか、切り捨てるか、分数として持っておくか — を決める話で、これは計算ではなく状況への問いです。13人の子どもが4人乗りの車で行くなら、3台とあまり1人 — 答えは4台です。

なぜかけ算はたし算より先なのか

かけ算がたし算より先なのは、かけ算が順番を待つ手順ではなく、一つにまとまった量を表しているからです。5 + 2 × 6 の 2 × 6 は6が2つ、つまり一つの量、12を意味します。だから式の値は 5 + 2 × 6 = 5 + 12 = 17 です。えんぴつ入れに、ばらのえんぴつが5本と、6本入りの箱が2箱あると考えてみましょう。まず箱の中身、12を数えてから、ばらの分を足します。この決まりがあるから、その式を読んだ人はだれでも同じ答えにたどり着きます。わり算もかけ算と同じ仲間の手順なので、やはりたし算やひき算より先になります：20 − 12 ÷ 4 = 20 − 3 = 17。本当にたし算を先にしたいときは、かっこがそう教えてくれます：(5 + 2) × 6 = 42。読み方が正しいか確かめるには、式を物語として話してみて、その物語が同じ数になるか見ましょう。

かけ算・わり算が先がその論をきちんと立て、かっこが最初が、もう一つの問いをわざと立てるための書き方を紹介します。(2 + 3) × 4 = 20。四則とかっこがすべての段を組み合わせます。8 ÷ 2 × 4 = 16 であって 1 ではない、という左から右のわなも含めて。それこそがたずねたかったことなら、専用の計算の順序のガイドがあります。

名前をつけておく値打ちのある間違い、四つ

• 位ではなく端をそろえる。筆算では位こそがすべてです。右端がふぞろいなのはかまいませんが、位のずれはいけません。
• 10倍は「0をつける」。整数では動きますが、3.5 × 10 で即座に壊れます。動くのは数字で、点はその場にとどまります。
• 数が味方のときに筆算を選ぶ。198 + 47 をたてに並べるのは、丸めて直すより遅く、間違いも増えます。
• 問いもせずにあまりを捨てる。あまりの意味は、何を分けているかでまるごと決まります。

この先へ

これらの方法はすべて、整数と位取りで述べた位の上に立っていて、小数点の先まで姿を変えずにのびます — そこからは小数と百分率の段ばしごが引き継ぎます。どのわり算が割り切れるのかと問えば、約数・倍数・素数（英語）へ入っていきます。